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一、余數(shù)問題的由來
我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個(gè)問題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何�！庇矛F(xiàn)在的話來說就是：“有一批物品，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè)，7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，問這批物品最少有多少個(gè)?” 這個(gè)問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點(diǎn)兵”等等。
二、余數(shù)問題的解法
余數(shù)問題核心基礎(chǔ)公式
余數(shù)基本關(guān)系式：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）
余數(shù)基本恒等式：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)
在我們公務(wù)員行測(cè)考試中，一般余數(shù)問題有三種解法。
（一）同余問題核心口訣
“余同加余，和同加和，差同減差，除數(shù)最小公倍數(shù)作周期”
1、余同：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)相同，此時(shí)該數(shù)可以選這個(gè)相同的余數(shù)，余同取余。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余1，除以6余1”，則取1，表示為60n+1。
2、和同：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)和除數(shù)的和相同，此時(shí)該數(shù)可以選這個(gè)相同的和數(shù)，和同加和。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1”，則取7，表示為60n+7。
3、差同：用一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，得到的余數(shù)和除數(shù)的差相同，此時(shí)該數(shù)可以選除數(shù)的最小公倍數(shù)減去這個(gè)相同的差數(shù)，差同減差。
例：“一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3”，則取-3，表示為60n-3。
例：自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，P除以9的余數(shù)為8，P除以8的余數(shù)為7。如果：100<P<1000，則這樣的P有幾個(gè)?
A.不存在 B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
【答案】C。解析：P除以8= ……7，P除以9=……8，P除以 10= ……9，差同，找除數(shù)8，9，10的公倍數(shù)360，所以有，100小于360N-1小于1000，所以有359和719兩個(gè)數(shù)
（二）剩余定理
如果兩個(gè)數(shù)相加和為另一個(gè)數(shù)字，如A+B=C.則ABC同時(shí)除以一個(gè)數(shù)字所剩的余數(shù)也滿足這樣的等式。如A除以3余m，B除以3余n，C除以3余0，則m+n一定是3的倍數(shù)。
例1. 6802-162×122-4642 =（ ）
A.210 240 B.196 000 C.197 100 D.198 000
【答案】A。解析：直接計(jì)算過于麻煩，利用剩余定理680、16×12、464均是8的倍數(shù)，則它們的平方都是8的平方即64的倍數(shù)。原式的值應(yīng)是64的倍數(shù)，選項(xiàng)中只有A是64的倍數(shù)。
例2.買5件甲商品和3件乙商品，需要348元，如果買3件甲和2件乙，需要216元，那么單賣一件甲商品需要多少錢？（ ）
A．48B.46C.34D.32
【答案】A。解析一：5x+3y=348，3x+2y=216。2式乘以2再減去1式得x+y=84，帶入1式可得x=48.
解析二:剩余定理。5x+3y=348。348除以3余數(shù)是0.3y除以3余數(shù)也為0，根據(jù)剩余定理可知5x也要是3的倍數(shù)，則只有可能x是3的倍數(shù)，選項(xiàng)中3的倍數(shù)只有A。
例3.藥箱里有六箱貨物，分別重15、16、18、19、20、31千克，兩個(gè)顧客買走了其中的五箱，已知一個(gè)顧客買的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，商店里剩下的一箱貨物重多少千克？（ ）
A. 16 B. 18 C. 19 D. 20
【答案】D解析：設(shè)買的少的顧客買了x，則另一個(gè)買了2x。剩余的一箱為m，則總的六箱為3x+m=119，119除以3余數(shù)為2，3x除以3余數(shù)也為2.根據(jù)剩余定理可知m除以3余數(shù)應(yīng)該為2，四個(gè)選項(xiàng)中除3余數(shù)為2的只有D選項(xiàng)。
（三）余不同、和不同、差不同
主要針對(duì)“公倍數(shù)做周期：余同取余，和同加和，差同減差”以外的余數(shù)問題的題目，這一類題主要轉(zhuǎn)化為余同、合同或差同來解決。
例：一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有？
A. 5個(gè) B. 6個(gè) C. 7個(gè) D. 8個(gè)
【答案】A。解析 ：如同上題做，不過分兩步，如，P除以9= ……7，P除以5= ……2，P除以4= ……3先看下面后兩個(gè)，是和同（余數(shù)同除數(shù)的和相同，和同加和,就是加除數(shù)最小公倍數(shù)的N倍加和）5*4N+7=20n+7,得到的20n+7可看成P除以20= ……7，與第一個(gè)又成為余同，余同加余，20*9n+7=180n+7,所以有100小于180n+7小于等于999。
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40004-20005
